電磁気学を勉強していると、マクスウェル方程式の中に突然「変位電流」という言葉が出てきます。
電流という名前なのに、真空中でも存在する。しかも電荷が実際に空間を横切って移動しているわけではない。それなのに、アンペールの法則では普通の電流と同じように磁界を作る項として扱われます。
初めて見ると、「なぜわざわざこんな量を導入するのだろう？」と疑問に思うところです。
ところが電磁波工学まで進むと、この変位電流は単なる補正項ではありません。変位電流を含むアンペール・マクスウェルの法則があるからこそ、時間変化する電界が磁界を作り、真空中に電磁波が存在できることをマクスウェル方程式から導けます。そしてアンテナから離れた空間を伝わる電波も、この方程式によって記述できます。
この記事では、まず「変位電流が存在しない」と仮定した世界で何が困るのかを考えます。その後、マクスウェルが追加した変位電流を入れると何が解決するのかを式で確認し、最後にアンテナと電磁波へつなげます。
対象は、ベクトル解析と電磁気学の基礎を一度学んだ大学3年生程度を想定しています。式を暗記するのではなく、「なぜこの項が必要なのか」を追っていきましょう。
変位電流とは何か？まず結論だけ確認する
真空中における変位電流密度は、次のように定義されます。
\[
\mathbf{J}_{\mathrm d}=\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
\]
ここで、\(\mathbf{E}\) は電界 [V/m]、\(\varepsilon_0\) は真空の誘電率 [F/m] です。
物質中で電束密度 \(\mathbf{D}\) を使う場合には、より一般的に
\[
\mathbf{J}_{\mathrm d}=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}
\]
と書けます。
重要なのは、変位電流密度 \(\mathbf{J}_{\mathrm d}\) は、導体中の自由電子が移動して生じる伝導電流密度 \(\mathbf{J}\) とは別物だということです。
たとえば真空中には、金属導線のように自由電子が流れる経路がなくても、電界 \(\mathbf{E}\) が時間的に変化すれば \(\partial \mathbf{E}/\partial t\neq 0\) となります。このとき変位電流密度はゼロではありません。
「電流」という名前から粒子の流れを想像すると分かりにくくなります。まずは「時間変化する電界が、アンペールの法則の中で電流と同じ役割をするために現れる量」と捉えるとよいでしょう。
EMANの電磁気学でも、\(\partial \mathbf{D}/\partial t\) は電荷そのものの流れではない一方、電束密度の時間変化が電流と同じ意味を持つため「変位電流」または「電束電流」と呼ばれる、と説明されています。
変位電流がないと何が困るのか
変位電流の必要性を理解するには、完成したマクスウェル方程式を最初から暗記するよりも、「変位電流を入れないとどこで矛盾するか」を見る方が分かりやすいです。
そこで、まず変位電流が存在しないと仮定してみます。
もともとのアンペールの法則
定常電流に対するアンペールの法則は、微分形では
\[
\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}
\]
です。
真空中で \(\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}\) を使えば、
\[
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}
\]
とも書けます。
積分形では
\[
\oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I
\]
です。閉曲線 \(C\) の周囲に沿って磁界を積分すると、その閉曲線が囲む面を貫く電流 \(I\) に等しい、という関係です。
直流が流れる長い導線を考える範囲では、これで問題ありません。
コンデンサを充電すると矛盾が見える
次に、電源につながれた平行平板コンデンサを考えます。充電中なので導線には電流 \(I\) が流れています。
しかし、コンデンサの極板間は絶縁されています。理想的なコンデンサなら、導線から来た自由電子がそのまま誘電体や真空を突き抜けて反対側の極板へ流れるわけではありません。
ここで、導線の周囲に閉曲線 \(C\) を取ります。そして \(C\) を境界とする面を2通り考えます。
1つ目の面 \(S_1\) は導線を横切るように取ります。この面には伝導電流 \(I\) が貫いているので、アンペールの法則から
\[
\oint_C\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I
\]
となります。
ところが、同じ閉曲線 \(C\) を境界としながら、膜を風船のように膨らませてコンデンサの極板間を通る面 \(S_2\) を考えます。理想コンデンサの極板間には伝導電流が流れていないので、変位電流を知らないアンペールの法則では
\[
\oint_C\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=0
\]
となってしまいます。
左辺はまったく同じ閉曲線 \(C\) に沿った磁界の線積分なのに、右辺が面の選び方だけで \(I\) にも0にもなる。これは困ります。
OpenStaxでも、このコンデンサの例を使って、同じ境界を持つ2つの面で通常のアンペールの法則が異なる結果を与えることが、マクスウェルによる補正の必要性として説明されています。
矛盾の正体は「電荷保存則」にある
コンデンサの図だけでも矛盾は見えますが、微分方程式を使うと問題の本質がさらに明確になります。
変位電流を含まないアンペールの法則をもう一度書きます。
\[
\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}
\]
この両辺の発散 \(\nabla\cdot\) を取ってみます。
\[
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{H})=\nabla\cdot\mathbf{J}
\]
ベクトル解析には、任意の十分滑らかなベクトル場 \(\mathbf{A}\) に対して
\[
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0
\]
という恒等式があります。したがって左辺は必ず0です。
すると、
\[
\nabla\cdot\mathbf{J}=0
\]
が強制されます。
これは「どこにも電荷がたまらず、電流が定常的に流れている」という場合には問題ありません。
しかし一般の時間変化する電磁現象では、電荷保存則は連続の式
\[
\nabla\cdot\mathbf{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}
\]
で表されます。
\(\rho\) は電荷密度 [C/m³] です。ある場所に電流が流れ込めば、その場所の電荷密度が増える。逆に電流が流れ出せば電荷密度が減る、というごく自然な保存則です。
ところが、変位電流を含まないアンペールの法則からは \(\nabla\cdot\mathbf{J}=0\) しか許されません。連続の式と比較すると、
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}=0
\]
でなければなりません。
つまり古いアンペールの法則は、電荷密度が時間変化する一般的な現象をそのまま扱えないのです。
コンデンサの充電では極板表面に電荷がたまっていきます。まさに \(\partial\rho/\partial t\neq0\) の現象なので、矛盾が表面化します。
ガウスの法則から足りない項を探す
では、アンペールの法則に何を足せばよいのでしょうか。
ここで電界に対するガウスの法則を使います。電束密度 \(\mathbf{D}\) を使うと、
\[
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho
\]
です。
両辺を時間微分します。
\[
\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{D})
=\frac{\partial\rho}{\partial t}
\]
空間微分と時間微分の順序を交換すれば、
\[
\nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
=\frac{\partial\rho}{\partial t}
\]
です。
一方、連続の式は
\[
\nabla\cdot\mathbf{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}
\]
でした。
2つを足すと、
\[
\nabla\cdot\mathbf{J}
+\nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}=0
\]
したがって、
\[
\nabla\cdot\left(\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right)=0
\]
となります。
ここで現れた
\[
\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
\]
こそが変位電流密度です。
そこでアンペールの法則を
\[
\boxed{
\nabla\times\mathbf{H}
=\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
}
\]
と修正します。これがアンペール・マクスウェルの法則です。
両辺の発散を取れば、
\[
0=\nabla\cdot\mathbf{J}
+\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{D})
\]
ガウスの法則 \(\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho\) を代入して、
\[
0=\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial\rho}{\partial t}
\]
すなわち、
\[
\boxed{
\nabla\cdot\mathbf{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}
}
\]
が得られます。
変位電流を加えたアンペール・マクスウェルの法則は、電荷保存則と矛盾しません。ここが非常に重要です。
コンデンサの極板間では何が起きているのか
先ほどの平行平板コンデンサに戻りましょう。
極板面積を \(S\)、極板間の電界がほぼ一様で \(\mathbf{E}\) とします。真空中なら電束密度は
\[
\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}
\]
です。
電気的なフラックスを電束密度で表すと、極板を貫く量は
\[
\int_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q
\]
となります。これはガウスの法則から得られます。
時間微分すると、
\[
\frac{d}{dt}\int_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}
=\frac{dQ}{dt}
\]
右辺は導線を流れ込む電流なので、
\[
I=\frac{dQ}{dt}
\]
です。
一方、変位電流を
\[
I_{\mathrm d}
=\int_S\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}
\]
と定義すれば、
\[
I_{\mathrm d}=\frac{dQ}{dt}=I
\]
となります。
つまり、導線中を流れていた伝導電流 \(I\) と、極板間に現れる変位電流 \(I_{\mathrm d}\) は、理想的なコンデンサでは同じ大きさになります。
「電子が極板間を飛び越えているから同じ」なのではありません。導線から電荷が極板に流れ込むことで極板間の電界が変化し、その時間変化が変位電流としてアンペール・マクスウェルの法則に入るのです。
回路理論のコンデンサ電流とも一致する
コンデンサの電荷と電圧の関係は
\[
Q=CV
\]
です。
容量 \(C\) が一定なら、時間微分して
\[
I=\frac{dQ}{dt}=C\frac{dV}{dt}
\]
となります。
これは回路理論でおなじみのコンデンサ電流です。
一方、平行平板コンデンサで \(E=V/d\)、\(C=\varepsilon_0S/d\) とすると、変位電流は
\[
I_{\mathrm d}
=\varepsilon_0S\frac{\partial E}{\partial t}
\]
\[
=\varepsilon_0S\frac{1}{d}\frac{dV}{dt}
\]
\[
=C\frac{dV}{dt}
\]
となり、回路理論の式と一致します。
回路図では「コンデンサに交流電流が流れる」と簡単に言いますが、電磁界の立場から見ると、導線中の伝導電流と極板間の時間変化する電界が一続きの現象として扱われています。
変位電流が存在しない場合のマクスウェル方程式を考える
ここからが電磁波工学とのつながりです。
真空中で電荷も伝導電流もない領域を考えます。
\[
\rho=0,\qquad \mathbf{J}=0
\]
とします。
まず、あえて変位電流を入れない場合を考えます。
真空中の方程式は、
\[
\nabla\cdot\mathbf{E}=0
\]
\[
\nabla\cdot\mathbf{B}=0
\]
\[
\nabla\times\mathbf{E}
=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
\]
\[
\nabla\times\mathbf{B}=0
\]
となります。
最後の式に注目してください。伝導電流 \(\mathbf{J}=0\) の真空中では、変位電流を認めない限り、アンペールの法則は
\[
\nabla\times\mathbf{B}=0
\]
と言っています。
では、この4式から電界の波動方程式を作れるでしょうか。
ファラデーの法則の両辺に \(\nabla\times\) を作用させます。
\[
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})
=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{B})
\]
しかし変位電流なしでは \(\nabla\times\mathbf{B}=0\) なので、
\[
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=0
\]
です。
ベクトル恒等式
\[
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})
=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})-\nabla^2\mathbf{E}
\]
を使います。
真空中では \(\nabla\cdot\mathbf{E}=0\) なので、
\[
-\nabla^2\mathbf{E}=0
\]
したがって、
\[
\boxed{\nabla^2\mathbf{E}=0}
\]
となります。
これはラプラス方程式であって、電磁波を表す波動方程式ではありません。
少なくとも、完成したマクスウェル理論で得られる
\[
\nabla^2\mathbf{E}
-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0
\]
という真空中の電磁波の方程式は出てきません。
つまり、変位電流を欠いた古いアンペールの法則では、電荷も伝導電流もない空間を電磁波が伝搬していく現象を記述する理論にならないのです。
変位電流が存在すると電磁波の方程式が現れる
次に、変位電流を含む正しいアンペール・マクスウェルの法則を使います。
真空中では \(\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}\)、\(\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}\) なので、電荷も伝導電流もない領域のマクスウェル方程式は
\[
\nabla\cdot\mathbf{E}=0
\]
\[
\nabla\cdot\mathbf{B}=0
\]
\[
\nabla\times\mathbf{E}
=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
\]
\[
\nabla\times\mathbf{B}
=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}
\]
となります。
最後の式が、変位電流を含むことで変わりました。
電界の波動方程式を導く
先ほどと同じように、ファラデーの法則
\[
\nabla\times\mathbf{E}
=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
\]
の両辺に \(\nabla\times\) を作用させます。
\[
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})
=-\frac{\partial}{\partial t}
(\nabla\times\mathbf{B})
\]
右辺にアンペール・マクスウェルの法則
\[
\nabla\times\mathbf{B}
=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}
\]
を代入します。
\[
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})
=-\mu_0\varepsilon_0
\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}
\]
左辺には先ほどのベクトル恒等式を使います。
\[
\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})
-\nabla^2\mathbf{E}
=-\mu_0\varepsilon_0
\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}
\]
真空中では \(\nabla\cdot\mathbf{E}=0\) なので、
\[
-\nabla^2\mathbf{E}
=-\mu_0\varepsilon_0
\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}
\]
よって、
\[
\boxed{
\nabla^2\mathbf{E}
-\mu_0\varepsilon_0
\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0
}
\]
が得られます。
これは波動方程式です。
一般的な波動方程式
\[
\nabla^2\mathbf{E}
-\frac{1}{v^2}
\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0
\]
と比較すると、伝搬速度は
\[
v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}
\]
です。
これは真空中の光速 \(c\) に一致します。
\[
\boxed{
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}
}
\]
EMANの電磁気学でも、真空中のマクスウェル方程式から同じ波動方程式を導き、伝搬速度 \(1/\sqrt{\mu\varepsilon}\) が光速に一致することを説明しています。OpenStaxでも、変化する電界と磁界の対称性が電磁波の伝搬を説明する要点として示されています。
磁界についても同じ波動方程式が得られる
今度はアンペール・マクスウェルの法則の両辺に \(\nabla\times\) を作用させます。
\[
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})
=\mu_0\varepsilon_0
\frac{\partial}{\partial t}
(\nabla\times\mathbf{E})
\]
ファラデーの法則を代入すると、
\[
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})
=-\mu_0\varepsilon_0
\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}
\]
さらに \(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\) を使えば、
\[
\boxed{
\nabla^2\mathbf{B}
-\mu_0\varepsilon_0
\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=0
}
\]
となります。
電界も磁界も、同じ速度 \(c\) で伝わる波の方程式を満たします。
「電界が磁界を作り、磁界が電界を作る」の意味
ここまでの式を見ると、よくある説明として「変化する電界が磁界を作り、その磁界の変化が次の電界を作り、交互にバトンを渡しながら進む」とイメージしたくなります。
ただし、このイメージは少し注意が必要です。
実際の平面電磁波では、電界と磁界は空間的・時間的に組み合わさった一つの電磁場として同時に伝搬します。電界が先に現れ、少し遅れて磁界が生まれ、さらに遅れて電界が生まれる、という単純な時間順序ではありません。
EMANの電磁波の解説でも、電場と磁場が「交互に発生する」という定性的な図は正確ではなく、両者は同じ形で一緒に伝わると説明されています。
それでも、方程式の構造を見るうえでは、
\[
\nabla\times\mathbf{E}
=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
\]
と
\[
\nabla\times\mathbf{B}
=\mu_0\varepsilon_0
\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}
\]
が互いに結びついていることが重要です。
ファラデーの法則だけでは片側しかありません。変位電流を含むアンペール・マクスウェルの法則が加わることで、時間変化する電界と磁界が相互に拘束された波動解を持てるようになります。
では、変位電流とアンテナはどうつながるのか
ここまでで、変位電流が真空中の電磁波を記述するうえで不可欠なことが分かりました。
次はアンテナです。
アンテナは、導線に高周波電流を流せば自動的に電波が飛び出す「謎の部品」ではありません。アンテナ上の時間変化する電流と電荷分布が周囲に時間変化する電磁界を作り、そのうち放射成分が空間を伝搬していきます。
この「導体上の電流・電荷」と「導体のない空間を進む電磁波」を一つの理論でつなぐとき、変位電流を含むマクスウェル方程式が必要になります。
半波長ダイポールをイメージする
最も基本的なアンテナとして、中央給電のダイポールアンテナを考えます。
2本の導体を一直線に配置し、中央から高周波電圧を加えます。
給電点から導体に沿って高周波の伝導電流が流れます。しかしアンテナの先端は開放端です。金属導体がその先まで続いているわけではありません。
では、導体中を流れてきた電流は先端で突然消えるのでしょうか。
もちろん、電荷保存則に反して電荷が消滅するわけではありません。
連続の式
\[
\nabla\cdot\mathbf{J}
=-\frac{\partial\rho}{\partial t}
\]
が示すように、電流分布が空間的に変化する場所では電荷密度が時間変化します。
ダイポールアンテナでは、導体上の電流と電荷は時間とともに振動しています。特に開放端付近では伝導電流はゼロへ近づき、電荷分布が大きくなります。
その時間変化する電荷が周囲に時間変化する電界を作ります。
そして時間変化する電界は、アンペール・マクスウェルの法則
\[
\nabla\times\mathbf{H}
=\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
\]
の変位電流項を通して磁界と結びつきます。
導体の内部では伝導電流 \(\mathbf{J}\) が重要です。一方、アンテナから離れた自由空間では \(\mathbf{J}=0\) でも、\(\partial\mathbf{D}/\partial t\) はゼロではありません。
この違いが、「導線中の高周波電流」と「空間を伝わる電波」が同じマクスウェル方程式の中で連続的に記述できるポイントです。
変位電流がなければアンテナから離れた場所で何が起きるか
ここで、アンテナから十分離れた自由空間の一点を考えてみます。
その場所には金属線がありません。したがって伝導電流密度は
\[
\mathbf{J}=0
\]
です。
もし変位電流が存在しない理論なら、アンペールの法則は
\[
\nabla\times\mathbf{H}=0
\]
となります。
これでは、時間変化する電界が存在しても、それが磁界の回転と結びつく項がありません。先ほど見たように、真空中の波動方程式も導けません。
一方、実際のマクスウェル方程式では、
\[
\nabla\times\mathbf{H}
=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
\]
です。
アンテナから離れて伝導電流がゼロになっても、時間変化する電界がある限り、変位電流項は残ります。
さらにファラデーの法則
\[
\nabla\times\mathbf{E}
=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
\]
と組み合わさることで、電界と磁界は自由空間を波として伝搬できます。
したがって、「変位電流があるから現在のアンテナが成立している」という表現は、少し正確に言い換えると次のようになります。
変位電流を含むアンペール・マクスウェルの法則があることで、アンテナが作った時間変化する電磁界が、伝導電流の存在しない自由空間を電磁波として伝搬することを矛盾なく記述できる。
物理現象としてアンテナが「変位電流という名前を知っているから動く」わけではありません。変位電流は、実際の電磁現象を正しく表現するためにマクスウェル方程式に必要な項です。
この区別は大切です。
短いダイポールから放射される電界にも時間変化が現れる
アンテナとのつながりをもう少し具体的に見てみます。
長さが波長に比べて十分短い微小ダイポールを考え、電流を正弦波状に
\[
I(t)=I_0\cos\omega t
\]
と変化させます。
アンテナ理論を解くと、遠方では電界と磁界に距離 \(r\) に対して \(1/r\) で減衰する放射項が現れます。
代表的には、微小ダイポールの遠方界はフェーザ表示で
\[
E_\theta
\propto
j\eta\frac{kI_0l}{4\pi r}
\sin\theta\,e^{-jkr}
\]
\[
H_\phi=\frac{E_\theta}{\eta}
\]
のような形になります。
ここで、\(l\) は微小ダイポールの長さ、\(k=2\pi/\lambda\) は波数、\(\eta=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\) は真空の波動インピーダンス、\(r\) はアンテナからの距離、\(\theta\) はダイポール軸から測った角度です。
この式をこの記事で最初から厳密導出すると、ベクトルポテンシャルや遅延ポテンシャルまで必要になるため別記事向きです。ここで見てほしいのは、遠方界では \(E\) と \(H\) がセットで存在し、導線がない空間を伝搬しているという点です。
遠方の自由空間では伝導電流 \(\mathbf{J}\) はありません。それでも \(E_\theta\) が時間変化するので、
\[
\mathbf{J}_{\mathrm d}
=\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}
\]
は存在します。
そしてアンペール・マクスウェルの法則によって、その時間変化する電界と磁界が整合します。
アンテナ工学で遠方界、放射パターン、偏波、波動インピーダンスなどを扱える背景には、変位電流まで含めて完成したマクスウェル方程式があります。
変位電流を「電流の続き」とだけ考えてよいのか
コンデンサの説明では、導線を流れる電流と極板間の変位電流が同じ値になるため、「変位電流は途切れた電流をつなぐ仮想的な電流」と説明されることがあります。
初学者向けのイメージとしては便利ですが、それだけでは電磁波工学での重要性を見落とします。
変位電流の本質的なポイントは、
\[
\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
\]
つまり「電束密度の時間変化そのものが磁界の回転の源になる」ことです。
コンデンサは、この項の必要性が非常に見えやすい具体例にすぎません。
自由空間を伝わる電磁波では、そもそも両側を導線でつないだコンデンサを考える必要はありません。それでも時間変化する電界があるため、変位電流項は存在します。
電磁波工学では、こちらの見方の方が重要になります。
伝導電流と変位電流を比較する
| 項目 | 伝導電流 | 変位電流 |
|---|---|---|
| 電流密度 | \(\mathbf{J}\) | \(\partial\mathbf{D}/\partial t\) |
| 代表的な原因 | 自由電荷の移動 | 電束密度の時間変化 |
| 真空中 | 自由電荷がなければ通常0 | 時間変化する電界があれば0ではない |
| アンペール・マクスウェルの法則での役割 | 磁界の回転に寄与 | 磁界の回転に寄与 |
| コンデンサ極板間 | 理想的には0 | 充放電中は存在 |
| 自由空間の電磁波 | 0 | 存在 |
「どちらもアンペール・マクスウェルの法則の右辺に並んでいるが、物理的な中身は同じではない」と覚えておくと整理しやすいです。
正弦波定常状態では変位電流はどう書けるか
電磁波工学では、時間変化を \(e^{j\omega t}\) と仮定したフェーザ表示をよく使います。
このとき時間微分は
\[
\frac{\partial}{\partial t}\rightarrow j\omega
\]
と置き換えられるので、変位電流密度は
\[
\mathbf{J}_{\mathrm d}
=j\omega\mathbf{D}
\]
となります。
線形・等方な媒質で \(\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}\) なら、
\[
\boxed{
\mathbf{J}_{\mathrm d}
=j\omega\varepsilon\mathbf{E}
}
\]
です。
一方、導電率 \(\sigma\) の媒質における伝導電流密度は、オームの法則から
\[
\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}
\]
です。
したがってアンペール・マクスウェルの法則は、フェーザ表示で
\[
\nabla\times\mathbf{H}
=(\sigma+j\omega\varepsilon)\mathbf{E}
\]
と書けます。
伝導電流と変位電流の大きさの比は、単純な媒質なら
\[
\frac{|\mathbf{J}_{\mathrm d}|}{|\mathbf{J}|}
=\frac{\omega\varepsilon}{\sigma}
\]
です。
低周波で導電率の高い良導体では伝導電流が支配的です。一方、周波数が高くなったり、導電率の小さい誘電体や自由空間を考えたりすると、変位電流を無視できません。
この式は、高周波になるほど「回路の電流」だけでは現象を考えにくくなり、電磁界として扱う必要が出てくることを直感的に示しています。
数値例：1 GHzの自由空間では変位電流密度はどの程度か
簡単な数値例を計算してみましょう。
自由空間で、振幅
\[
E_0=1\ \mathrm{V/m}
\]
周波数
\[
f=1\ \mathrm{GHz}
\]
の正弦波電界を考えます。
角周波数は
\[
\omega=2\pi f
=2\pi\times10^9\ \mathrm{rad/s}
\]
です。
変位電流密度の振幅は
\[
J_{\mathrm d0}=\omega\varepsilon_0E_0
\]
なので、\(\varepsilon_0\approx8.854\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}\) を使うと、
\[
J_{\mathrm d0}
\approx2\pi\times10^9
\times8.854\times10^{-12}
\times1
\]
\[
\approx5.56\times10^{-2}\ \mathrm{A/m^2}
\]
となります。
つまり、
\[
\boxed{J_{\mathrm d0}\approx0.0556\ \mathrm{A/m^2}}
\]
です。
ここで本当に電子が1平方メートルあたり0.0556 A流れているわけではありません。しかし、アンペール・マクスウェルの法則の中では、この時間変化する電界が磁界を作る項として働きます。
周波数を10倍の10 GHzにすれば、同じ電界振幅でも変位電流密度の振幅は10倍になります。\(J_{\mathrm d0}\propto f\) だからです。
高周波・マイクロ波・アンテナ工学で変位電流が無視できない理由が、数値からも見えてきます。
「変位電流がなければ電磁波は存在しない」はどこまで正しいか
ここは表現に注意したいところです。
この記事では、変位電流を取り除いたアンペールの法則からは、真空中の通常の電磁波を表すマクスウェルの波動方程式が導けないことを確認しました。
したがって、マクスウェル電磁気学の枠組みでは、変位電流項は自由空間を伝わる電磁波を記述するために不可欠です。
ただし、「変位電流という物質が空間を流れ、その物質が電波そのものである」という理解は誤りです。
変位電流は、時間変化する電束密度 \(\partial\mathbf{D}/\partial t\) を電流密度と同じ次元で表した量です。電磁波そのものは、時間・空間的に変化する電界と磁界からなる電磁場です。
言葉だけでなく、
\[
\nabla\times\mathbf{H}
=\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
\]
という式の中で理解するのが一番確実です。
アンテナを学ぶときに変位電流をどう意識すればよいか
アンテナ工学の教科書では、半波長ダイポールの電流分布、放射抵抗、指向性、利得などの計算へ進むと、毎回「これは変位電流です」と書かれるわけではありません。
そのため、変位電流を電磁気学の試験だけに出てくる概念だと感じるかもしれません。
しかし、アンテナの式は最終的にマクスウェル方程式の上に成り立っています。
アンテナ上では伝導電流と電荷が時間変化します。周囲には時間変化する電界・磁界が形成されます。アンテナから十分離れれば伝導電流は存在しませんが、電界と磁界は電磁波として伝搬します。
この一連の現象を途切れなくつないでいる基本式の一つが、
\[
\nabla\times\mathbf{H}
=\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
\]
です。
個人的には、変位電流は「コンデンサの極板間にも電流が流れたことにするための補正」とだけ覚えるより、
伝導電流がない空間でも、時間変化する電界は磁界と結びつく。
と覚えた方が、アンテナや電磁波へ進んだときに理解しやすいと思います。
変位電流あり・なしを一度整理する
| 観点 | 変位電流なし | 変位電流あり |
|---|---|---|
| アンペールの法則 | \(\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}\) | \(\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}+\partial\mathbf{D}/\partial t\) |
| 充電中コンデンサ | 積分面の選び方で矛盾 | 伝導電流と変位電流が整合 |
| 電荷保存則 | 一般の時間変化に対応できない | 連続の式と整合 |
| 自由空間でJ=0 | \(\nabla\times\mathbf{H}=0\) | \(\nabla\times\mathbf{H}=\partial\mathbf{D}/\partial t\) |
| 電界の方程式 | 波動方程式が得られない | \(\nabla^2\mathbf{E}-\mu_0\varepsilon_0\partial^2\mathbf{E}/\partial t^2=0\) |
| アンテナから離れた自由空間 | 放射電磁界を完成した形で記述できない | 電磁波として記述できる |
この表の中でも特に覚えておきたいのは、変位電流が「コンデンサだけの特殊な話」ではないという点です。
よくある疑問
変位電流では本当に電荷は移動していないのか
真空中の変位電流については、伝導電流のように自由電荷がその場所を横切って流れているわけではありません。変位電流密度は \(\varepsilon_0\partial\mathbf{E}/\partial t\) です。
一方、誘電体では分極の時間変化も関係するため、微視的には束縛電荷のわずかな変位を含む現象があります。電磁波工学では、媒質の構成式と合わせて扱う必要があります。
直流回路では変位電流はゼロなのか
十分時間が経って電界が時間変化しない定常状態なら、
\[
\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}=0
\]
なので変位電流はゼロです。
ただし、スイッチを入れた瞬間や過渡現象では電界が変化するため、直流電源を使った回路でも変位電流が現れる時間帯があります。
コンデンサに流れる交流電流は全部変位電流なのか
理想コンデンサの極板間では伝導電流を0とみなし、変位電流で記述できます。しかし実際の誘電体には漏れ電流や損失があります。その場合は伝導的な成分と変位電流の両方を考えます。
変位電流が電磁波を「作る」のか
変位電流だけを単独の原因として切り出すより、マクスウェル方程式全体で考える方が正確です。
アンテナの電流・電荷分布が時間変化することで電磁場が生じ、ファラデーの法則とアンペール・マクスウェルの法則を満たす形で放射場が形成されます。変位電流項は、その中で時間変化する電界と磁界を結びつける不可欠な項です。
まとめ：変位電流はアンテナと自由空間をつなぐ重要な項
今回は、変位電流がなぜ必要なのかを、アンペールの法則の矛盾から電磁波・アンテナまで順番に追いました。
最初のポイントは、変位電流を含まない
\[
\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}
\]
だけでは、充電中のコンデンサで積分面の選び方による矛盾が生じ、一般の電荷保存則とも整合しないことです。
そこでマクスウェルは、時間変化する電束密度
\[
\mathbf{J}_{\mathrm d}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
\]
を加え、
\[
\boxed{
\nabla\times\mathbf{H}
=\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
}
\]
というアンペール・マクスウェルの法則へ拡張しました。
この式なら電荷保存則と整合します。そして真空中では、ファラデーの法則と組み合わせることで
\[
\nabla^2\mathbf{E}
-\mu_0\varepsilon_0
\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0
\]
という電磁波の波動方程式が得られます。
その伝搬速度は
\[
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}
\]
で、光速に一致します。
アンテナから離れた自由空間には伝導電流 \(\mathbf{J}\) はありません。それでも時間変化する電界が存在するため、変位電流 \(\partial\mathbf{D}/\partial t\) は残ります。これによって電界と磁界がマクスウェル方程式の中で結びつき、電磁波として伝搬できます。
つまり変位電流は、「コンデンサの問題を解くためだけの補正項」ではありません。
電磁波工学の視点では、導体中の高周波電流から自由空間を伝わる電波までを一つの電磁気学で記述するための、根本的な項です。
アンテナの放射を学ぶ前にこの点を理解しておくと、この先に出てくる波動方程式、平面波、ポインティングベクトル、ダイポールアンテナの放射などが、ばらばらの公式ではなくマクスウェル方程式からつながった話として見えやすくなると思います。
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