電磁気学を勉強していると、避けて通れないのが「マクスウェルの方程式」です。
ところが、初めて4本の式を並べて見たとき、「divやrotが突然出てきた」「積分形になると閉曲面や閉曲線まで登場する」「結局、それぞれ何を言っている式なのか分からない」と感じる人は多いと思います。
そこで今回は、マクスウェルの方程式を暗記するのではなく、電場と磁場の「湧き出し」と「渦」を記述する4つのルールとして整理してみます。
電場・磁場、電荷、電流の基本は知っているものの、ベクトル解析とマクスウェル方程式がまだ頭の中でつながっていないレベルの方を対象に記事を書きます。
また、この記事では微分形だけでなく積分形も扱います。むしろ初学者にとっては、積分形のほうが「ある面をどれだけ電場が貫くか」「ある閉じた道に沿って電場がどれだけ回るか」と図で考えやすい部分があります。
マクスウェルの方程式は何を決めているのか
最初に4本を見ておきましょう。この記事では、まず真空中で扱いやすい \(E\) と \(B\) を使ったSI単位系の表現を中心にします。
| 法則 | 微分形 | 一言でいうと |
|---|---|---|
| 電場に対するガウスの法則 | \(\nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\) | 電荷は電場の湧き出し源 |
| 磁場に対するガウスの法則 | \(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\) | 磁場には始点・終点がない |
| ファラデーの電磁誘導の法則 | \(\nabla\times\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\) | 変化する磁場が渦状の電場を作る |
| アンペール・マクスウェルの法則 | \(\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\) | 電流と変化する電場が渦状の磁場を作る |
ここで、\(\mathbf{E}\) は電場 [V/m]、\(\mathbf{B}\) は磁束密度 [T]、\(\rho\) は電荷密度 [C/m³]、\(\mathbf{J}\) は電流密度 [A/m²]、\(\varepsilon_0\) は真空の誘電率、\(\mu_0\) は真空の透磁率です。
4本を眺めると、左辺には2種類しかありません。
- \(\nabla\cdot\)（div）：その場がどれくらい湧き出しているか
- \(\nabla\times\)（rot, curl）：その場がどれくらい渦を巻いているか
つまりマクスウェル方程式は、\(E\)と\(B\)について「どこから湧き出すのか」「何が渦を作るのか」を指定しています。まずこの骨格をつかむと、4本が別々の公式に見えにくくなります。
微分形と積分形は何が違う？
マクスウェル方程式には、微分形と積分形があります。別の法則が8個あるわけではありません。同じ物理法則を、一点の近くを見るか、有限の領域全体を見るかという違う視点で書いています。
微分形は「その場所」で何が起きているかを見る
例えば、
\[\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\]
は、ある点に電荷密度 \(\rho\) があれば、その点で電場 \(\mathbf{E}\) がどの程度湧き出すかを表します。非常に局所的な表現です。
EMANの電磁気学でも、微分法則は「ある点とその周辺」の関係を記述するものとして説明されています。ただし、微分方程式だけで具体的な電場が一意に決まるとは限らず、実際の問題では境界条件も必要になります。
積分形は「面や経路全体」で何が起きているかを見る
一方、電場のガウスの法則の積分形は、
\[\oiint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}\]
です。閉じた面 \(S\) を考え、その面を貫いて外へ出ていく電場を全部足し合わせると、中に含まれる総電荷 \(Q_{\mathrm{in}}\) で決まる、という意味です。
「一点の湧き出し」を見る微分形に対し、「風船全体からどれだけ出ていくか」を見るのが積分形、と考えるとイメージしやすいでしょう。
2つをつなぐのがガウスの発散定理とストークスの定理
divを含む2本はガウスの発散定理、rotを含む2本はストークスの定理で積分形へ変換できます。
ガウスの発散定理は、ベクトル場 \(\mathbf{A}\) について、
\[\iiint_V (\nabla\cdot\mathbf{A})\,dV=\oiint_S \mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}\]
と書けます。左辺は体積 \(V\) の内部にある「湧き出し」を全部足したもの、右辺はその体積を囲む閉曲面 \(S\) から外へ流れ出る量です。
ストークスの定理は、
\[\iint_S (\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\mathbf{S}=\oint_C \mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}\]
です。面 \(S\) の内部にある「渦」を全部足したものが、その面の縁 \(C\) に沿ってベクトル場を一周積分した量と等しくなります。
この2つが分かると、微分形と積分形を別々に暗記する必要はかなり減ります。
第1の式：電場に対するガウスの法則
まずは電荷から電場が出る様子を考える
正の点電荷を1個置くと、その周囲には放射状の電場ができます。電場の矢印は正電荷から外向きです。負電荷なら逆に内向きになります。
ここで正電荷を透明な球で包んだと考えてみましょう。電場は球面を内側から外側へ貫いています。球を大きくすると電場そのものは弱くなりますが、球面積は大きくなります。
点電荷 \(q\) による電場の大きさは、
\[E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\]
です。一方、半径 \(r\) の球の面積は \(4\pi r^2\) です。球面上では \(\mathbf{E}\) が面に垂直なので、電気力線の「面を貫く量」、すなわち電気フラックスを計算すると、
\[\begin{aligned}\oiint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}&=E\,4\pi r^2\\&=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\,4\pi r^2\\&=\frac{q}{\varepsilon_0}\end{aligned}\]
となり、半径 \(r\) が消えます。
球を大きくしても小さくしても、内部に同じ電荷 \(q\) が入っている限り、閉曲面を貫く総フラックスは変わりません。これがガウスの法則の直感です。
積分形
電場に対するガウスの法則は、積分形では
\[\oiint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}\]
です。
\(d\mathbf{S}\) は微小面積ベクトルで、閉曲面では外向きを正に取ります。\(\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}\) という内積を使うため、面に垂直な電場成分だけがフラックスに寄与します。
電場が面に平行なら \(\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=0\) です。反対に、面を垂直に貫くほど寄与が大きくなります。
積分形から微分形へ
左辺にガウスの発散定理を使います。
\[\oiint_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_V(\nabla\cdot\mathbf{E})\,dV\]
また、内部の総電荷は電荷密度 \(\rho\) を体積積分して、
\[Q_{\mathrm{in}}=\iiint_V\rho\,dV\]
と書けます。したがって、
\[\iiint_V(\nabla\cdot\mathbf{E})\,dV=\frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_V\rho\,dV\]
\[\iiint_V\left(\nabla\cdot\mathbf{E}-\frac{\rho}{\varepsilon_0}\right)dV=0\]
これが任意の体積 \(V\) について成り立つには、各点で中身が0でなければなりません。よって、
\[\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\]
が得られます。
つまり「電荷は電場の湧き出し源である」という一文が、積分形では閉曲面全体、微分形では一点ごとの関係として表現されています。
第2の式：磁場に対するガウスの法則
次は磁場 \(\mathbf{B}\) です。式は驚くほど単純です。
\[\nabla\cdot\mathbf{B}=0\]
積分形では、
\[\oiint_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0\]
です。
なぜ右辺が0なのか
電場の場合、正電荷は電場の始点、負電荷は終点になれました。ところが磁場については、通常の電磁気学で磁荷に相当する単独の「N極だけ」「S極だけ」は確認されていません。
棒磁石を考えると、外側では磁力線がN極からS極へ向かいます。しかしS極で磁力線が消えているわけではなく、磁石内部を通ってN極側へ戻る閉じたループとして考えられます。
そのため、どんな閉曲面を置いても、入ってくる磁束と出ていく磁束を合計すると0になります。
電場のガウス則との違いが重要
2本を並べると違いがはっきりします。
| 電場 \(\mathbf{E}\) | 磁場 \(\mathbf{B}\) | |
|---|---|---|
| 微分形 | \(\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0\) | \(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\) |
| 湧き出し源 | 電荷がある | 磁荷は通常の電磁気学ではない |
| 力線 | 正電荷から出て負電荷へ入る | 閉じたループを作る |
この非対称性は、後でファラデーの法則とアンペール・マクスウェルの法則を比べるときにも出てきます。
第3の式：ファラデーの電磁誘導の法則
ここからは「湧き出し」ではなく「渦」の話です。
微分形は、
\[\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\]
積分形は、
\[\oint_C\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d}{dt}\iint_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}\]
です。
磁場が変化すると、電場がぐるりと回る
静電場だけを勉強していると、電場は正電荷から負電荷へ向かうもの、というイメージが強くなります。しかし時間変化する磁場があると、事情が変わります。
磁束が時間的に変化すると、その周囲に閉じたループ状の電場が生じます。これが電磁誘導です。
コイルに磁石を近づけたり遠ざけたりすると電圧が生じる、という現象を、電場そのものの性質として書いたのがファラデーの法則です。
左辺の線積分は何を意味する？
\(\oint_C\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}\) は、閉じた経路 \(C\) に沿って電場の接線成分を一周分足し合わせたものです。
静電場なら閉じた経路を一周した線積分は0です。しかし、時間変化する磁場があると0ではなくなります。
右辺にある
\[\Phi_B=\iint_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}\]
を磁束と呼べば、
\[\oint_C\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d\Phi_B}{dt}\]
となります。高校物理で見た「誘導起電力は磁束の時間変化率に比例する」という関係が、空間の電場を含む形に一般化されています。
マイナス符号はレンツの法則
右辺のマイナスは飾りではありません。生じる電場の向きが、磁束の変化を打ち消す向きになることを表します。
例えば紙面奥向きの磁束が増えているなら、誘導される効果はその増加を妨げる向きになります。コイルがあれば、その電場によって電荷が動き、磁束変化を打ち消す向きの電流が流れます。
微分形への変換
積分形の左辺にストークスの定理を使うと、
\[\oint_C\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=\iint_S(\nabla\times\mathbf{E})\cdot d\mathbf{S}\]
右辺は固定された面を考えれば、
\[-\frac{d}{dt}\iint_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=-\iint_S\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}\]
です。したがって、
\[\iint_S\left(\nabla\times\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\right)\cdot d\mathbf{S}=0\]
任意の面について成り立つので、
\[\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\]
となります。
積分形では「ある面を貫く磁束が変わると、その縁に沿って電場が循環する」。微分形では「磁場が時間変化している場所では電場に渦が生じる」。同じ内容を違うスケールで見ています。
第4の式：アンペール・マクスウェルの法則
4本の中で、初学者が最も引っかかりやすいのがこの式かもしれません。
微分形は、
\[\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\]
積分形は、
\[\oint_C\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 I_{\mathrm{enc}}+\mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\iint_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}\]
です。
まずアンペールの法則から考える
直線導線に電流 \(I\) を流すと、導線の周囲に円を描くような磁場ができます。十分長い直線導線なら、半径 \(r\) の円周上で磁場の大きさは一定なので、
\[\oint_C\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B\,2\pi r\]
です。元のアンペールの法則は、
\[\oint_C\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 I\]
ですから、
\[B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\]
が得られます。
ところがコンデンサを入れると矛盾する
ここがマクスウェルの修正の核心です。
充電中の平行板コンデンサを考えます。導線には電流 \(I\) が流れていますが、2枚の極板の間を導電電流がそのまま横切っているわけではありません。
導線を囲む同じ閉曲線 \(C\) に対して、\(C\) を縁に持つ面 \(S\) を2通り考えてみます。
- \(S_1\)：導線を横切る平らな面 → 電流 \(I\) が貫く
- \(S_2\)：風船のように膨らませ、コンデンサの極板間を通る面 → 導電電流は貫かない
境界 \(C\) は同じなのに、どちらの面を選ぶかで右辺が \(\mu_0I\) になったり0になったりしては困ります。左辺の \(\oint_C\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}\) は同じ閉曲線 \(C\) について計算しているからです。
極板間では電場が時間変化している
コンデンサに電荷 \(Q\) がたまると、理想的な平行板コンデンサの極板間には、
\[E=\frac{Q}{\varepsilon_0 A}\]
程度の電場ができます。充電中は \(Q\) が増えるため、\(E\) も時間とともに増加します。
電気フラックスを \(\Phi_E=EA\) とすれば、
\[\Phi_E=\frac{Q}{\varepsilon_0}\]
両辺を時間微分して、
\[\frac{d\Phi_E}{dt}=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{dQ}{dt}\]
電流 \(I=dQ/dt\) なので、
\[\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}=I\]
となります。
つまり、導電電流が通っていない極板間でも、時間変化する電気フラックスが、アンペールの法則の右辺に必要な \(I\) と同じ役割を果たせます。
そこでマクスウェルは、
\[\oint_C\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0\left(I+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\right)\]
と修正しました。\(\varepsilon_0 d\Phi_E/dt\) は変位電流と呼ばれます。
OpenStaxでも、充電中コンデンサを貫く面の選び方によって旧来のアンペール則が矛盾する問題と、それを変位電流が解消する流れが説明されています。EMANの電磁気学でも、この修正によって「電流がなくとも時間変化する電場が磁場を生み得る」ことが重要な意味として強調されています。
微分形への変換
ストークスの定理を使えば、
\[\oint_C\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\iint_S(\nabla\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{S}\]
また、面を貫く電流は、
\[I_{\mathrm{enc}}=\iint_S\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}\]
なので、
\[\iint_S(\nabla\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{S}=\mu_0\iint_S\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}+\mu_0\varepsilon_0\iint_S\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}\]
したがって各点で、
\[\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\]
となります。
4つの積分形をまとめて眺める
ここまでを積分形だけで並べてみます。
| 法則 | 積分形 | 図形 |
|---|---|---|
| 電場のガウス則 | \(\oiint_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=Q_{\mathrm{in}}/\varepsilon_0\) | 閉曲面 |
| 磁場のガウス則 | \(\oiint_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0\) | 閉曲面 |
| ファラデー則 | \(\oint_C\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\dfrac{d}{dt}\iint_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}\) | 面とその境界 |
| アンペール・マクスウェル則 | \(\oint_C\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0I+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}\) | 面とその境界 |
上2本は「閉曲面をどれだけ場が貫くか」、下2本は「面の縁に沿って場がどれだけ循環するか」です。
ここで積分記号の形を丸暗記するより、divの式は閉曲面、rotの式は面とその境界と対応させるほうが理解しやすいと思います。
微分形と積分形、結局どちらを使えばいい？
物理的には同じ内容ですが、問題によって便利な形が違います。
対称性が高い問題では積分形が強い
点電荷、無限に長い直線電荷、十分広い平面電荷、長い直線電流など、対称性が高い問題では積分形が非常に強力です。
例えば直線電流の周囲では、対称性から半径 \(r\) の円周上で \(B\) の大きさが同じと分かります。すると線積分が \(B\,2\pi r\) に簡単化でき、磁場をすぐ求められます。
空間分布そのものを扱うなら微分形が自然
一方、複雑な境界条件のもとで電磁場の空間分布を求めたり、電磁波の波動方程式を導いたりするときは微分形が自然です。
ただし、微分形のマクスウェル方程式だけを眺めても具体的な解が自動的に決まるわけではありません。EMANが指摘するように、実際の場を決めるには境界条件や初期条件も重要です。
E・B表現とD・H表現は何が違う？
教科書によっては、マクスウェル方程式が
\[\begin{aligned}\nabla\cdot\mathbf{D}&=\rho\\\nabla\cdot\mathbf{B}&=0\\\nabla\times\mathbf{E}&=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\\\nabla\times\mathbf{H}&=\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\end{aligned}\]
と書かれていることがあります。
「さっきの式と違う」と戸惑うかもしれませんが、真空中では、
\[\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}\]
\[\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}\]
という関係があるため、互いに変換できます。
\(\mathbf{D}\) は電束密度、\(\mathbf{H}\) は磁場の強さです。物質中では分極や磁化をどの量に含めるかという整理が入るため、\(E\)・\(B\)だけで書いた真空中の式より少し注意が必要です。
この記事では4本の物理的な構造を見通しやすくするため、主に真空中の \(E\)・\(B\) 表現を使いました。物質中のマクスウェル方程式は、構成方程式とあわせて別の記事で整理すると理解しやすいテーマです。
4本を「原因と結果」で整理してみる
ここで一度、数式を日本語に戻してみます。
- 電荷 \(\rho\) があると、電場 \(E\) が湧き出す。
- 磁場 \(B\) には湧き出し源がない。
- 時間変化する磁場 \(B\) は、渦状の電場 \(E\) を作る。
- 電流 \(J\) と時間変化する電場 \(E\) は、渦状の磁場 \(B\) を作る。
特に3番と4番を並べると、電場と磁場が互いに結びついていることが見えてきます。
\[\text{変化する }B\;\longrightarrow\;\text{渦状の }E\]
\[\text{変化する }E\;\longrightarrow\;\text{渦状の }B\]
この相互作用が、電磁波へつながります。
マクスウェル方程式から電磁波が見えてくる
電荷も電流もない真空を考えます。\(\rho=0\)、\(\mathbf{J}=0\) です。このとき重要な2本は、
\[\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\]
\[\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\]
です。
つまり、変化する磁場が電場の渦を作り、変化する電場が磁場の渦を作れます。導線も電荷もない空間で、\(E\) と \(B\) が互いの時間変化と結びついています。
電場の波動方程式を導いてみる
ファラデーの法則の両辺にrotを取ります。
\[\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{B})\]
ベクトル解析の恒等式、
\[\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})-\nabla^2\mathbf{E}\]
を使います。真空で \(\rho=0\) なら \(\nabla\cdot\mathbf{E}=0\) なので、左辺は、
\[-\nabla^2\mathbf{E}\]
です。また右辺にアンペール・マクスウェルの法則を代入すると、
\[-\frac{\partial}{\partial t}\left(\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\right)=-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}\]
したがって、
\[\nabla^2\mathbf{E}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}\]
が得られます。
これは波動方程式です。一般的な波動方程式、
\[\nabla^2u=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}\]
と比較すると、電磁波の速さは、
\[v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\]
となります。これは真空中の光速 \(c\) です。
つまり、マクスウェル方程式は電気と磁気をまとめただけではなく、光が電磁波であることまで示す構造を持っています。OpenStaxでも、マクスウェルの変位電流による修正が電場と磁場の時間変化の対称性を作り、電磁波の理解につながることが説明されています。
初学者が混乱しやすいポイント
「電場は電荷が作る」だけではない
静電気だけならその理解でかなり進めます。しかし一般の電磁場では、時間変化する磁場も電場の渦を作ります。
電場の「湧き出し」は電荷が決め、電場の「渦」は時間変化する磁場が決める、と分けると整理できます。
「磁場は電流が作る」だけでもない
こちらも同様です。電流 \(\mathbf{J}\) は磁場の渦を作りますが、時間変化する電場も磁場の渦を作ります。これがマクスウェルの変位電流項です。
\(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\) は「磁場が0」という意味ではない
これは非常によくある混同です。
\(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\) は \(\mathbf{B}\) そのものが0という意味ではありません。\(\mathbf{B}\) の発散が0、つまり磁場に湧き出し源がないという意味です。磁石の周囲にはもちろん磁場があります。
\(\nabla\times\mathbf{E}=0\) とはいつでも言えない
静電場では \(\partial\mathbf{B}/\partial t=0\) なので、ファラデーの法則から \(\nabla\times\mathbf{E}=0\) です。しかし磁場が時間変化すれば \(\nabla\times\mathbf{E}\) は0ではありません。
「電場は必ずポテンシャルの勾配だけで書ける」という静電気の感覚を、そのまま時間変化する電磁場へ持ち込まないことが大切です。
積分形の面 \(S\) は勝手に独立して選ぶわけではない
ファラデー則やアンペール・マクスウェル則では、閉曲線 \(C\) と、その \(C\) を境界にもつ面 \(S\) がセットです。
特にアンペール・マクスウェル則では、同じ \(C\) に対して異なる \(S\) を選んでも矛盾しないことが、変位電流項の重要性を理解する鍵になります。
4本を暗記せずに再構成する方法
試験前に4本を丸暗記すると符号や係数を忘れやすいので、構造から再構成する方法を考えてみます。
まずdivの2本です。
電荷は電場の源なので、
\[\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\]
磁気単極子がないので、
\[\nabla\cdot\mathbf{B}=0\]
次にrotの2本です。
変化する \(B\) が \(E\) を作るファラデー則は、レンツの法則によりマイナスが付き、
\[\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\]
電流と変化する \(E\) が \(B\) を作るので、
\[\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\]
となります。
「\(E\) と \(B\) それぞれについてdivとrotを1本ずつ」と覚えれば、少なくとも4本の配置は崩れません。
積分形を自分で再構成する方法
微分形から積分形を作るときも、2つの定理を対応させればよいです。
- div → 体積積分 → ガウスの発散定理 → 閉曲面積分
- rot → 面積分 → ストークスの定理 → 閉曲線積分
例えば、
\[\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\]
を体積積分すれば、
\[\iiint_V(\nabla\cdot\mathbf{E})\,dV=\frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_V\rho\,dV\]
左辺を発散定理、右辺を総電荷 \(Q\) に置き換えて、
\[\oiint_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\]
です。
一方、
\[\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\]
を面積分してストークスの定理を使えば、
\[\oint_C\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d}{dt}\iint_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}\]
となります。
この変換を一度自分の手でやっておくと、積分形の記号の意味がかなり見えやすくなります。
電磁気学の問題ではマクスウェル方程式だけで十分？
マクスウェル方程式は電磁場の基本法則ですが、現実の問題を解くにはそれだけですべてが終わるわけではありません。
例えば、電場と磁場が電荷にどんな力を及ぼすかを知るにはローレンツ力、
\[\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\]
が必要です。
また物質中なら \(\mathbf{D}\) と \(\mathbf{E}\)、\(\mathbf{B}\) と \(\mathbf{H}\) を結ぶ構成方程式が必要になります。導体なら \(\mathbf{J}\) と \(\mathbf{E}\) の関係としてオームの法則を使う場面もあります。
さらに微分方程式を具体的に解くには境界条件・初期条件が必要です。マクスウェル方程式は「電磁場が従うルール」を与えますが、個別の装置や空間でどの解が実現するかは、周囲の条件まで含めて決まります。
アンテナや回路へどうつながるのか
マクスウェル方程式は抽象的な式に見えますが、高周波回路やアンテナではそのまま現実の設計につながります。
低周波の回路では、配線のどこでも同じ瞬間に電圧や電流が決まるような集中定数回路として近似できます。しかし周波数が上がり、配線寸法が波長に対して無視できなくなると、電場と磁場が空間を伝わることを考えなければなりません。
伝送線路、マイクロストリップ、導波管、アンテナ放射などは、突き詰めればマクスウェル方程式の解として理解できます。
例えばアンテナでは、時間変化する電流と電荷が周囲の \(E\) と \(B\) を作り、それらが空間へ電磁波として伝わります。「電流を流したらなぜ遠くへ電波が飛ぶのか」という疑問は、まさにマクスウェル方程式の先にある問題です。
まとめ：4本の式は「湧き出し」と「渦」で見ると分かりやすい
今回はマクスウェルの方程式を、微分形と積分形の両方から整理しました。
最後にもう一度、意味だけを並べます。
- \(\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0\)：電荷が電場の湧き出し源になる。
- \(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\)：磁場には湧き出し源がなく、磁力線は閉じる。
- \(\nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t\)：変化する磁場が渦状の電場を作る。
- \(\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\partial\mathbf{E}/\partial t\)：電流と変化する電場が渦状の磁場を作る。
積分形では、divの2本が閉曲面を貫くフラックス、rotの2本が閉曲線に沿う循環として表されます。そして両者をつないでいるのがガウスの発散定理とストークスの定理です。
個人的には、マクスウェル方程式は4本を一気に暗記するより、「\(E\) と \(B\) にはそれぞれ湧き出しと渦のルールがある」と考えてから数式へ戻るほうが理解しやすいと思います。
さらに重要なのが、ファラデーの法則とアンペール・マクスウェルの法則です。変化する \(B\) が \(E\) を作り、変化する \(E\) が \(B\) を作る。この構造から波動方程式が現れ、光が電磁波であることにつながります。
マクスウェル方程式は電磁気学の「ゴール」というより、アンテナ、伝送線路、導波管、光、電磁波を理解するためのスタート地点と考えたほうが面白いかもしれません。
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