マクスウェル の方程式を理解しよう

電磁気を学ぶ方にとって一番重要な方程式と言っても過言ではないマクスウェルの方程式の理解を深めていきたいと思います。

最終的には2次元FDTD解析を実装するところまで持っていきたいと思いますが、ボリュームが多いのでいくつかに分割して書いていきます。

マクスウェル の方程式

マクスウェル の方程式は、下記の4式になります。（太字はベクトルです）

\begin{align}
\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{D} &= \rho \tag{1}\\
\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{B} &= 0 \tag{2}\\
\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E} &= -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\tag{3}\\
\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{H} &= \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}+\boldsymbol{J} \tag{4}
\end{align}

ここで、$\boldsymbol{E}$は電界ベクトル, $\boldsymbol{H}$は磁界ベクトル,$\boldsymbol{E}$, $\boldsymbol{B}$は誘電率$\varepsilon$、透磁率$\mu$を用いて、それぞれ$\boldsymbol{D}=\varepsilon \boldsymbol{E}$, $\boldsymbol{B}=\mu \boldsymbol{H}$です。

4つの式が出揃ったところで、各式の説明に入ります。

電界の湧出しについての方程式 （ガウスの法則）

\begin{align}
\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{D} &= \rho \tag{1}\\
\end{align}

式(1)は電界の湧出しについての方程式になります。
電磁気学を履修した人は最初の方で学ぶやつですね。この式は、「電界の湧出しがあるなら、その領域の中に電荷密度$\rho$が存在している」という意味です。

こちらの導出は、高校で習ったクーロンの法則から可能です。
今、点電荷Qがある時、点電荷から距離r離れた空間に電界Eが下式のように発生します。
$$E=\frac{Q}{4\pi \varepsilon r^2}$$
これを式変形すると
$$4 \pi r^2 E=\frac{Q}{\varepsilon}$$
となります。左辺はEの面積積分の形となっているため
$$\iint \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{n} dS=\iiint \frac{\rho}{\varepsilon}dV$$
左辺について、ガウスの定理より
$$\iiint \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E}dV=\iiint \frac{\rho}{\varepsilon}dV$$
積分の中身について、両辺を比較すると
$$\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{D} = \rho$$

これで導出完了です。

磁界の湧出しについての方程式

\begin{align}
\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{B} &= 0 \tag{2}
\end{align}

式(2)は磁界の湧出しについての方程式になります。ガウスの法則の磁場バージョンといったところです
この式は、「領域内における磁界の湧出しはない」という意味になります。
言い換えると、領域内における磁力線の流出・流入のトータルは等しいということです。
イメージで考えるとわかりやすいです。磁石を考えた時に、S極（もしくはN極）は単独で存在しません。棒磁石のように必ずセットで存在します。電荷のように正（もしくは負）の電荷単独で存在し得ないのです。

電界の回転についての方程式　（ファラデーの法則）

\begin{align}
\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E} &= -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\tag{3}\\
\end{align}

式(3)は磁界の回転についての方程式になります。
これは、ファラデーの法則から導出可能です。
ファラデーの法則は、下記の式になります。
$$V=- \frac{\partial \phi}{\partial t}$$
ここで、左辺は下記のように変形可能です。
$$（左辺）=\oint_C \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{r}=\iint \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{n}dS$$

次に、右辺を変換していきます。
$\phi=\iint \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{n}dS$と表せるため、
$$（右辺）= – \iint \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot \boldsymbol{n}dS$$
両辺に面積分が出てきましたので、積分の中身を見ていくと
$$\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}$$

磁界の回転についての方程式　（アンペールの法則の拡張）

\begin{align}
\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{H} &= \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}+\boldsymbol{J} \tag{4}
\end{align}

式(4)は電界の回転についての方程式になります。
これは、アンペールの法則を拡張することで導出可能です。
この式は中学の時に習ったアンペールの法則さえ覚えていれば導出しやすいです。

アンペールの法則は、下図のように電流が流れると右ねじの法則に従って距離に応じて磁界が発生するもので、下式で表せます。
$$H=\frac{I}{2\pi r}$$

この式を変形していきましょう。
分母は何をある距離における周回積分を意味しているため、式変形すると
$$ I=\oint_C \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{r}$$とかけます。
これにストークスの定理を適用すると
$$I=\iint \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{n}dS$$

ここで、電流は電流密度を用いて
$I=\iint \boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{n}dS$と表せるので
$$\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}$$と表せます。

これで導出完了・・・と思いきや、式(4)の右辺にある$\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}$の項が抜けています。
実はこの項がマクスウェルさんの功績といっても過言ではない重要なものになっています。
結論から言うと、先ほど導出したアンペールの法則は電磁気学においては誤りでした。（定電流条件では合っています）
導出した式の両辺に発散をとると
$$\nabla \cdot (\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{H})=\nabla \cdot \boldsymbol{J}$$

ベクトルの公式より、左辺はゼロになり
$$\nabla \cdot \boldsymbol{J}=0$$となります。

これは、電荷密度の発散は0を意味しているため、電荷保存則に反しています。
電荷保存則については下項を参考ください。

そこで、マクスウェルはアンペールの法則を拡張しました。
新たなベクトル$\boldsymbol{X}$を用いて

$$\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}+\boldsymbol{X}$$
先ほどと同様に、両辺に発散をとり
$$\nabla \cdot (\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{H})=\nabla \cdot \boldsymbol{J}+\nabla \cdot \boldsymbol{X}$$

ベクトルの公式より、左辺はゼロになり
$$\nabla \cdot \boldsymbol{X}=-\nabla \cdot \boldsymbol{J}$$となります。
ここで、電荷保存則より、
$$\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{J}=-\frac{\partial \boldsymbol{\rho}}{\partial t}$$であり、電荷密度はガウスの法則より
$$\nabla \cdot \boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon} $$であるから、それぞれ式変形すると上式は

$$\nabla \cdot \boldsymbol{X}=-\nabla \cdot \varepsilon \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}$$と表せるため、

$$\boldsymbol{X}=\varepsilon \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}$$となり

元の式に代入すると
$$\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}+ \varepsilon \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}$$

これでマクスウェルの方程式全て導出完了しました！

電荷保存則

電流Iは単位時間あたりの電荷Qの変化量、すなわち電荷の時間微分で定義されています。
つまり、$I=-\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial t}$

電流Iは電荷密度の面積分で導出でき、電荷Qは電荷密度の体積積分で表せるため、上式は
$$\iint \boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{n}dS=-\iiint \frac{\partial \boldsymbol{\rho}}{\partial t}dV$$
となります。

左辺はガウスの法則より、面積積分から体積積分に変換できるため、
$$\iiint \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{J}dV=-\iiint \frac{\partial \boldsymbol{\rho}}{\partial t}dV$$となるため

$$\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{J}=-\frac{\partial \boldsymbol{\rho}}{\partial t}$$となります。
これが電荷保存則です。

まとめ

今回はマクスウェルの方程式4式の意味と、それぞれの式の導出について説明しました。
マクスウェルの方程式は、電界・磁界それぞれにおける発散と回転の方程式からなることさえ覚えてしまえば、あとは既存の知識だけで導出できますのでそれほど身構える必要はありません。
4つの方程式のうち重要なのは式(3)と(4)です。なぜなら、それぞれの方程式内に電界と磁界の項があり、相互作用が示されているためです。

要は磁界（電界）が発生したら、その変化に伴い電界（磁界）が発生するといった式になります。電波はこの式があるからこそ空間や物質を伝播していくんですね。

次の記事からはFDTD法について扱っていきますが、もちろん今回の式も登場するため、実践での使い方を学んでいきましょう。