分布定数線路その２

今回は分布定数線路その1の続きを書いていきます。

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2024.01.04

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分布定数線路のF行列

分布定数線路は、下図のような二端子対回路であり、そのインピーダンスは行列形式で記載可能です。

単一周波数が与えられた条件で、上図のような分布定数線路のF行列を求めていきましょう。
なお、今回は無損失であることを仮定します。
まずは、$x=0$の位置における電圧$V_{0}$と電流$I_{0}$から求めていきます。
分布定数線路の一般解をから、
\begin{align}
V_{0}&=V_{i}+V_{r} \tag{1}\\
I_{0}&=\frac{V_{i}}{Z_{0}}-\frac{V_{r}}{Z_{0}} \tag{2}
\end{align}

同様に、$x=l$の位置における電圧$V_{l}$と電流$I_{l}$を求めていきます。
なお、無損失を仮定しているため、$\gamma=j\beta$としています。

\begin{align}
V_{l}&=V_{i}e^{j\beta l}+V_{r}e^{j\beta l} \tag{3}\\
I_{l}&=\frac{V_{i}}{Z_{0}}e^{j\beta l}-\frac{V_{r}}{Z_{0}}e^{j\beta l} \tag{4}
\end{align}

ここで、オイラーの公式から
$e^{j\beta l}=\cos{\beta l}+j\sin{\beta l}$となるので、式(3), 式(4)はそれぞれ
\begin{align}
V_{l}&=(V_{I}+V_{r})\cos{\beta l}-j(V_{I}-V_{r})\sin{\beta l} \tag{5}\\
I_{l}&=(\frac{V_{i}}{Z_{0}}+\frac{V_{r}}{Z_{0}})\cos{\beta l}-j(\frac{V_{i}}{Z_{0}}-\frac{V_{r}}{Z_{0}})\sin{\beta l} \tag{6}
\end{align}

式(1),(2),(5),(6)を行列でまとめると、下式のようになります。

\begin{align}
\begin{bmatrix}
V_{l}\\
I_{l}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos{\beta l} && -jZ_{0}\sin{\beta l}\\
-j\frac{1}{Z_{0}}\sin{\beta l}&&\cos{\beta l}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
V_{0}\\
I_{0}
\end{bmatrix}
\tag{7}
\end{align}

さて、式(7)の2行２列の行列の逆行列を左から掛け合わせることで、

\begin{align}
\begin{bmatrix}
V_{0}\\
I_{0}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos{\beta l} && jZ_{0}\sin{\beta l}\\
j\frac{1}{Z_{0}}\sin{\beta l}&&\cos{\beta l}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
V_{l}\\
I_{l}
\end{bmatrix}
\tag{8}
\end{align}

これで、無損失状態での縦続接続可能なF行列を求めることができました。

分布定数線路の終端に負荷があることを考える

実際の線路は無限に続くことなどなく、終端が必ずあります。ここでは、終端にインピーダンス$Z_{L}$が接続された下図のような状態を考えてみます。

式(8)より、
\begin{align}
V_{0}&=V_{l}\cos{\beta l}+jZ_{0}I_{l}\sin{\beta l} \tag{9}\\
I_{0}&=jV_{l}\frac{1}{Z_{0}}\sin{\beta l}+I_{l}\cos{\beta l} \tag{10}
\end{align}

入力インピーダンス$Z_{in}$は、

\begin{align}
Z_{in}=\frac{V_{0}}{I_{0}}=Z_{0}\frac{V_{l}\cos{\beta l}+jZ_{0}I_{l}\sin{\beta l}}{I_{l}Z_{0}\cos{\beta l}+jV_{l}\sin{\beta l}} \tag{11}
\end{align}

ここで、$\frac{V_{l}}{I_{l}}=Z_{L}$であるので、式(11)に代入して、
\begin{align}
Z_{in}=Z_{0}\frac{Z_{l}\cos{\beta l}+jZ_{0}\sin{\beta l}}{Z_{0}\cos{\beta l}+jZ_{l}\sin{\beta l}} \tag{12}
\end{align}

式(12)の分母分子をそれぞれ$\cos_{\beta l}$で割ると、
\begin{align}
Z_{in}=Z_{0}\frac{Z_{l}+jZ_{0}\tan{\beta l}}{Z_{0}+jZ_{l}\tan{\beta l}} \tag{13}
\end{align}

式(13)が、伝送線路に負荷インピーダンスを終端した時の入力インピーダンスを一般化した式になります。

ここで、負荷が0(ショート）と無限大（オープン）について考えていきましょう。
集中定数回路であれば、負荷が0ならインピーダンスはどこからみても0でしょうが、分布定数線路の世界では線路長により0にならないことがあります。

負荷が0の時、式(13)に$Z_{l}=0$を代入することになります。すると、入力インピーダンスは

\begin{align}
Z_{in}=jZ_{0}\tan{\beta l} \tag{14}
\end{align}

式(14)に関して、$l$を$0~0.3 \lambda$に変化させた際のインピーダンス（虚部のみ）をプロットした結果を下図に示します。
下図を見ると、$\frac{\lambda}{4}$で入力インピーダンスが無限大になり$\frac{\lambda}{2}$で入力インピーダンスがゼロになります。